Wenn man Fussballstatistiken etwas genauer betrachtet, dann fällt auf, dass ca. 55% aller Tore in der zweiten Halbzeit fallen (dieser Wert ist in allen europäischen Ligen annähernd gleich). Will man für Fussballwetten wissen wieviele Tore in einem Fussballspiel voraussichtlich fallen werden (z.B. für eine Resultatwette), dann ist es aber unwichtig wann die Tore fallen; interessant ist nur wieviele Tore fallen. Streng statistisch betrachtet basieren die geschossenen Tore während eines Fussballspiels (90 Minuten) nämlich annähernd auf einer zufälligen Verteilung.
Ganz exakt ist dies nicht, denn wenn in einem Spiel bereits ein Tor gefallen ist, dann ist es wahrscheinlicher, dass weitere Tore fallen. Die Mannschaft die im Rückstand liegt, muss die Defensive etwas lockern. Dies lässt sich auch rechnerisch nachweisen.
Torbasierte Fussballwetten Modelle (Fussballwetten Systeme) basieren also auf der grundlegenden Annahme, dass Tore unabhängig voneinander fallen. Mit Hilfe der so genannten Poisson Verteilung lässt sich für jedes Fussballspiel die Wahrscheinlichkeit für jedes beliebige Endresultat berechnen. Voraussetzung für die Anwendung der Poisson Verteilung ist, dass Erfahrungswerte für das Auftreten eines Ereignisses existieren. Auf Fussballwetten bezogen bedeutet dies, dass man auf historische Statistiken zurückgreifen kann um einen Basiswert (Ausganswert) zu erhalten. Für Sportwetten Profis und auch Buchmacher gehören Poisson Berechnungen zur "Grundausstattung" wenn es darum geht Basisquoten bzw. Wettquoten zu berechnen. Man muss kein Statistik-Diplom besitzen um selbst Poisson Berechnungen anzustellen. Excel ist unser Freund, und hat eine eingebaute Funktion für Poisson Berechnungen (dazu später).
1. BeschreibungDas folgende Beispiel wird zeigen, dass die Poisson Verteilung dazu geeignet ist, um komplette Bundesliga Saisonen zu "modellieren" / zu simulieren. Die einzigen Informationen die dazu nötig sind, sind die durchschnittlich geschossenen Heimtore und Auswärtstore. Dabei greifen wir auf die Daten von vier Bundesliga Saisonen zurück (2008/2009 bis 2011/2012). Wir werden außerdem die durch die Poisson Verteilung ermittelten Ergebnisse mit den tatsächlichen Ergebnissen der Saisonen 2008/2009 - 2011/2012 vergleichen.
Alles was wir zunächst dafür brauchen sind die durchschnittlich erzielten Heimtore und die durchschnittlich erzielten Auswärtstore in der Bundesliga. Addiert man alle Daten der Saisonen 2008/2009 - 2011/2012, dann erzielten Heimmannschaften 1,63 Tore/Spiel und Auswärtsmannschaften 1,25 Tore/Spiel.
| Saison | Heimtore / Spiel | Auswärtstore / Spiel |
|---|---|---|
| 2008/2009 | 1,70 | 1,22 |
| 2009/2010 | 1,51 | 1,32 |
| 2010/2011 | 1,65 | 1,27 |
| 2011/2012 | 1,66 | 1,20 |
| Durchschnitt | 1,63 | 1,25 |
Nun kommt die Poisson Verteilung zum ersten Mal ins Spiel. Wir können mit Hilfe von Excel berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Heimmannschaft 0, 1, 2 ... Tore schießt bzw. eine Auswärtsmannschaft 0, 1, 2 ... Tore schießt.
Die Poisson Eingabe in Excel funktioniert nach dem folgenden Prinzip:
=POISSON(x;Mittelwert;kummulativ)
| x | hier trägt man den gesuchten Wert ein. z.B. 2 wenn man die Wahrscheinlichkeit für 2 Tore errechnen will |
| Mittelwert | hier trägt man den Durchschnittswert ein |
| kummulativ | man kann hier entweder FALSCH oder WAHR eintragen. FALSCH wenn man eine bestimmte Wahrscheinlichkeit (z.B. genau 2 Tore) errechnen will. WAHR wenn man z.B. wissen will wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass maximal 2 Tore fallen |
So sieht das Excel Eingabefeld aus, wenn man wissen will wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Mannschaft in einem Spiel kein Tor erzielt.
Alternativ dazu kann man auch die Excel Formelbox (siehe Bild unten) von Excel verwenden und die Werte dort eintragen.
Untenstehend die vollständig berechnete Poisson Verteilung für Heimtore und Auswärtstore. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten muss 100% ergeben. Jede einzelne Wahrscheinlichkeit kann für Sportwetten (genauer gesagt Fussballwetten) in eine Wettquote umgerechnet werden.
| Heimtore | % | Auswärtstore | % |
|---|---|---|---|
| 0 | 19,59% | 0 | 28,66% |
| 1 | 31,94% | 1 | 35,81% |
| 2 | 26,03% | 2 | 22,38% |
| 3 | 14,14% | 3 | 9,33% |
| 4 | 5,76% | 4 | 2,91% |
| 5 | 1,88% | 5 | 0,73% |
| 5+ | 0,66% | 5+ | 0,18% |
| 100% | 100% |
Mit den errechneten Prozentwerten kann man nun kalkulieren, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für bestimmte Resultate ist. 2:1? Man nimmt die Daten aus Tabelle 2 und rechnet 26,03% * 35,81% und erhält 9,32%. 0:3? Man rechnet 19,59% * 9,33% und erhält 1,83%. Die folgende Tabelle zeigt alle möglichen Ergebnisse und deren Eintrittswahrscheinlichkeiten. Waagrecht sind die Tore für Heimmannschaften eingetragen; senkrecht die Tore für Auswärtsmannschaften.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 5+ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 5,61% | 9,15% | 7,46% | 4,05% | 1,65% | 0,54% | 0,19% |
| 1 | 7,02% | 11,44% | 9,32% | 5,06% | 2,06% | 0,67% | 0,24% |
| 2 | 4,39% | 7,15% | 5,83% | 3,17% | 1,29% | 0,42% | 0,15% |
| 3 | 1,83% | 2,98% | 2,43% | 1,32% | 0,54% | 0,18% | 0,06% |
| 4 | 0,57% | 0,93% | 0,76% | 0,41% | 0,17% | 0,05% | 0,02% |
| 5 | 0,14% | 0,23% | 0,19% | 0,10% | 0,04% | 0,01% | 0,00% |
| 5+ | 0,04% | 0,06% | 0,05% | 0,03% | 0,01% | 0,00% | 0,00% |
Mit diesen Daten kann schon der erste Vergleich zwischen den theoretischen Werten und den tatsächlichen Bundesliga Ergebnissen von 2008/2009 - 2011/2012 angestellt werden.
Vergleicht man nun diese theoretischen Poisson Werte mit den tatsächlichen Heimsiegen, Unentschieden und Auswärtssiegen aus den Saisonen 2008/2009 - 2011/2012, dann wird deutlich wie nahe die theoretischen Werte an der Wirklichkeit liegen.
Wie Tabelle 4 zeigt, liegen die Abweichungen im Bereich von nur 0,5% - 1%. Der einzige Ausgangswert den man für diese Berechnung benötigte, war die durchschnittliche Anzahl geschossener Tore pro Spiel. Einschränkend muss aber erwähnt werden, dass hier Daten von vier vollen Bundesliga Saisonen (1224 Spiele - ohne Relegationsspiele) betrachtet wurden. Je größer der Betrachtungszeitraum ist, desto eher gleichen sich Schwankungen aus. Würde man nur eine Saison betrachten, dann wären die Abweichungen tendenziell etwas höher.
| Heimsiege | Unentschieden | Auswärtssiege | |
|---|---|---|---|
| Poisson Wert | 46,27% | 24,38% | 29,35% |
| Tatsächlicher Wert | 45,10% | 24,67% | 30,23% |
Im nächsten Schritt vergleichen wir die Häufigkeit der eingetretenen Ergebnisse, und überprüfen ob die Poisson Verteilung auch zur Vorhersage von exakten Resultaten geeignet ist. In der Poisson Tabelle kann z.B. abgelesen werden, dass bei erwarteten 1,63 Heimtoren vs. erwarteten 1,25 Auswärtstoren, 11,44% der Spiele mit 1:1 enden (1:1 ist übrigens in den meisten Ligen das häufigste Endresultat). Tatsächlich endeten 142 von den 1224 ausgewerteten Spielen mit 1:1; dies entspricht einem gerundeten Prozentsatz von 11,60%. Untenstehend der Vergleich zwischen theoretischen (Poisson) und tatsächlichen Ergebnishäufigkeiten. Tabelle 5 zeigt die 15 häufigsten Ergebnisse.
| Resultat | Tatsächlich | Poisson |
|---|---|---|
| 1:1 | 11,60% | 11,44% |
| 2:1 | 8,99% | 9,32% |
| 1:0 | 8,33% | 9,15% |
| 2:0 | 7,36% | 7,46% |
| 1:2 | 6,95% | 7,15% |
| 0:1 | 6,62% | 7,02% |
| 0:0 | 6,46% | 5,61% |
| 2:2 | 5,15% | 5,83% |
| 3:0 | 4,66% | 4,05% |
| 0:2 | 3,92% | 4,39% |
| 1:3 | 3,84% | 2,98% |
| 3:1 | 3,43% | 5,06% |
| 3:2 | 2,45% | 3,17% |
| 0:3 | 2,13% | 1,83% |
| 3:3 | 1,31% | 1,32% |
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Poisson Verteilung: Teil 1 – Saisonwetten
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